Magnitudes escalares y vectoriales

Hola a todos

En este post quiero realizar una serie de aclaraciones que personalmente me trajeron quebraderos de cabeza cuando empecé a introducirme seriamente en el mundo de las matemáticas. Hablo de los conceptos de magnitud escalar y magnitud vectorial.

Lo normal y típico cuanto alguien termina sus estudios en ingeniería (yo lo pensaba) es que sepa que la diferencia entre ambas es la presencia de dirección y sentido en las magnitudes vectoriales. Eso es correcto, pero a la hora de trabajar con ecuaciones no tiene mucha utilidad. Voy a explicar un poco más en detalle sus diferencias, e incluiré un ejemplo de cada una relacionado con el campo de mecánica de fluidos.

Magnitud escalar: Las magnitudes escalares son aquellas que se pueden definir matemáticamente como una función de las variables que intervienen en la descripción de un sistema. Son funciones que, evaluadas en un punto del dominio en el que estan definidas (el "volumen de control" que se estudia típicamente en ingeniería) dan como resultado un número (2, 0, 3E-6, etc.). Ejemplos típicos de magnitudes escalares son la temperatura o la presión.

 Ejemplo: Presión en un punto de un volumen de control

$$P(x,y,z)=4x^2+3y^2-8.4xy-2z+1$$

Como se observa, la presión es una función de las coordenadas espaciales z, x e y. Sólo depende de la posición que se considere.

Magnitud vectorial: Son aquellas que para su definición deben ser expresadas en lo que conocemos como base vectorial, esto es, estan referenciadas a un sistema de coordenadas direccional. Estas magnitudes poseen distintos valores para un mismo punto dependiendo de la dirección que se considere (es lo que se denomina componentes del vector).  Cada componente será a su vez una expresión que dependerá de las variables del sistema. Notad que, al necesitar una base vectorial que defina dichas magnitudes, aparece de forma natural el concepto de "dirección" y "sentido" de la magnitud.

Ejemplo: Velocidad de una partícula fluida en un punto del volumen de control

$$u=[u_x,u_y,u_z]=\left[4x^2-9y+z,3z^4-2,2x+4y^3\right]$$

Como se puede observar, el vector u posee tres componentes, una por cada dirección espacial. Además cada componente  es a su vez una función de z,x e y. La dirección final de la velocidad de la partícula fluida en cualquier punto será la suma de ambas componentes en forma vectorial, o la raíz cuadrada del cuadrado de cada componente como escalar, más su vector director, que será aquel vector unitario que indique la dirección y sentido del vector u.

Quizá esta diferencia es obvia, pero es la que marca la diferencia en el cálculo diferencial o tensorial de los distintos operadores: no es lo mismo el laplaciano de una magnitud escalar que el laplaciano de una magnitud vectorial.

En el próximo post escribiré una pequeña tablita con los resultados para distintas magnitudes vectoriales y escalares.