Hola a todos
Hoy voy a hablar de un tema que me ha interesado mucho y que creo es importante conocer por aquellos que deseen aprender e introducirse en el mundo de la ciencia de vanguardia: Me refiero a los metodos perturbativos.
Estas tecnicas matematicas fueron desarrolladas aproximadamente durante el siglo pasado por cientificos que, o bien se dedicaban a la matematica de los sistemas dinamicos, o bien trabajaban en areas de la fisica o la ingenieria donde debian tratar a diario con ecuaciones o modelos matematicos no resolubles analiticamente (como por ejemplo la mecanica de fluidos).
Los metodos perturbativos, tambien llamados asintoticos, tratan de obtener informacion sobre el sistema de ecuaciones a resolver sin proceder a su resolucion. Para ello estas tecnicas introducen en las ecuaciones "soluciones perturbadas": se presupone una solucion para la ecuacion que depende de una variable pequeña epsilon y otros parametros deseados. La forma de estas soluciones varia segun el tipo de perturbacion que se desee introducir en el sistema: pued ser una serie de potencias de epsilon, una funcion exponencial u otro tipo de funcion analitica dependiente de epsilon.
Puesto que la solucion propuesta es efectivamente, una solucion de la ecuacion, satisfara el sistema de ecuaciones. La sustitucion de la misma en las ecuaciones dara lugar a una serie de ecuaciones en funcion de los parametros incluidos en nuetra solucion, las cuales seran estudiadas matematicamente utilizando teoria de dinamica no lineal, esto es, se procedera al estudio de su estabilidad (convergencia de la solucion a tiempo infinito, soluciones oscilatorias, etc.)
Como se puede observar, los metodos perturbativos son de extremada utilidad, si bien su aplicacion no resulta tan inmediata como parece. En los casos de estudio de ecuaciones diferenciales con condiciones de contorno, este proceso es cuanto menos pesado, si no cuasi ininteligible para aquellos no muy acostumbrados a trabajar de forma fluida con este tipo de metodos. Es por ello por lo que don pocos los expertos sobre esta materia.
En proximos post hablare un poco mas en detalle sobre este tipo de metodos, para que veais como se aplican en la practica.
domingo, 30 de octubre de 2011
viernes, 28 de octubre de 2011
Magnitudes escalares y vectoriales
Hola a todos
En este post quiero realizar una serie de aclaraciones que personalmente me trajeron quebraderos de cabeza cuando empecé a introducirme seriamente en el mundo de las matemáticas. Hablo de los conceptos de magnitud escalar y magnitud vectorial.
Lo normal y típico cuanto alguien termina sus estudios en ingeniería (yo lo pensaba) es que sepa que la diferencia entre ambas es la presencia de dirección y sentido en las magnitudes vectoriales. Eso es correcto, pero a la hora de trabajar con ecuaciones no tiene mucha utilidad. Voy a explicar un poco más en detalle sus diferencias, e incluiré un ejemplo de cada una relacionado con el campo de mecánica de fluidos.
Magnitud escalar: Las magnitudes escalares son aquellas que se pueden definir matemáticamente como una función de las variables que intervienen en la descripción de un sistema. Son funciones que, evaluadas en un punto del dominio en el que estan definidas (el "volumen de control" que se estudia típicamente en ingeniería) dan como resultado un número (2, 0, 3E-6, etc.). Ejemplos típicos de magnitudes escalares son la temperatura o la presión.
Ejemplo: Presión en un punto de un volumen de control
P(x,y,z)=4x^2+3y^2-8.4xy-2z+1
Como se observa, la presión es una función de las coordenadas espaciales z, x e y. Sólo depende de la posición que se considere.
Magnitud vectorial: Son aquellas que para su definición deben ser expresadas en lo que conocemos como base vectorial, esto es, estan referenciadas a un sistema de coordenadas direccional. Estas magnitudes poseen distintos valores para un mismo punto dependiendo de la dirección que se considere (es lo que se denomina componentes del vector). Cada componente será a su vez una expresión que dependerá de las variables del sistema. Notad que, al necesitar una base vectorial que defina dichas magnitudes, aparece de forma natural el concepto de "dirección" y "sentido" de la magnitud.
Ejemplo: Velocidad de una partícula fluida en un punto del volumen de control
u=[u_x,u_y,u_z]=\left[4x^2-9y+z,3z^4-2,2x+4y^3\right]
Como se puede observar, el vector u posee tres componentes, una por cada dirección espacial. Además cada componente es a su vez una función de z,x e y. La dirección final de la velocidad de la partícula fluida en cualquier punto será la suma de ambas componentes en forma vectorial, o la raíz cuadrada del cuadrado de cada componente como escalar, más su vector director, que será aquel vector unitario que indique la dirección y sentido del vector u.
Quizá esta diferencia es obvia, pero es la que marca la diferencia en el cálculo diferencial o tensorial de los distintos operadores: no es lo mismo el laplaciano de una magnitud escalar que el laplaciano de una magnitud vectorial.
En el próximo post escribiré una pequeña tablita con los resultados para distintas magnitudes vectoriales y escalares.
En este post quiero realizar una serie de aclaraciones que personalmente me trajeron quebraderos de cabeza cuando empecé a introducirme seriamente en el mundo de las matemáticas. Hablo de los conceptos de magnitud escalar y magnitud vectorial.
Lo normal y típico cuanto alguien termina sus estudios en ingeniería (yo lo pensaba) es que sepa que la diferencia entre ambas es la presencia de dirección y sentido en las magnitudes vectoriales. Eso es correcto, pero a la hora de trabajar con ecuaciones no tiene mucha utilidad. Voy a explicar un poco más en detalle sus diferencias, e incluiré un ejemplo de cada una relacionado con el campo de mecánica de fluidos.
Magnitud escalar: Las magnitudes escalares son aquellas que se pueden definir matemáticamente como una función de las variables que intervienen en la descripción de un sistema. Son funciones que, evaluadas en un punto del dominio en el que estan definidas (el "volumen de control" que se estudia típicamente en ingeniería) dan como resultado un número (2, 0, 3E-6, etc.). Ejemplos típicos de magnitudes escalares son la temperatura o la presión.
Ejemplo: Presión en un punto de un volumen de control
P(x,y,z)=4x^2+3y^2-8.4xy-2z+1
Como se observa, la presión es una función de las coordenadas espaciales z, x e y. Sólo depende de la posición que se considere.
Magnitud vectorial: Son aquellas que para su definición deben ser expresadas en lo que conocemos como base vectorial, esto es, estan referenciadas a un sistema de coordenadas direccional. Estas magnitudes poseen distintos valores para un mismo punto dependiendo de la dirección que se considere (es lo que se denomina componentes del vector). Cada componente será a su vez una expresión que dependerá de las variables del sistema. Notad que, al necesitar una base vectorial que defina dichas magnitudes, aparece de forma natural el concepto de "dirección" y "sentido" de la magnitud.
Ejemplo: Velocidad de una partícula fluida en un punto del volumen de control
u=[u_x,u_y,u_z]=\left[4x^2-9y+z,3z^4-2,2x+4y^3\right]
Como se puede observar, el vector u posee tres componentes, una por cada dirección espacial. Además cada componente es a su vez una función de z,x e y. La dirección final de la velocidad de la partícula fluida en cualquier punto será la suma de ambas componentes en forma vectorial, o la raíz cuadrada del cuadrado de cada componente como escalar, más su vector director, que será aquel vector unitario que indique la dirección y sentido del vector u.
Quizá esta diferencia es obvia, pero es la que marca la diferencia en el cálculo diferencial o tensorial de los distintos operadores: no es lo mismo el laplaciano de una magnitud escalar que el laplaciano de una magnitud vectorial.
En el próximo post escribiré una pequeña tablita con los resultados para distintas magnitudes vectoriales y escalares.
miércoles, 26 de octubre de 2011
Escribe Latex en tu blog
Hola a todos
Para todos aquellos que utiliceis Latex en vuestros escritos científicos, pero no sabeis como implementar dicha escritura en vuestro blog, os remito a esta web que he encontrado que te explica como hacerlo (al menos en blogger/blogspot).
http://watchmath.com/vlog/?p=438
El proceso es muy sencillo: solo es copiar y pegar el script que deja el autor del blog tal y como se indica en su web, si bien hay que realizarun cambio en la dirección web que esta incluida en el script:
cambiar
por
Y ya está. A disfrutar de vuestra creatividad.
Para los que no sabeis que es Latex, os muestro un ejemplo para que veais de que va el tema. Y si os interesa, solo teneis que buscar información sobre el mismo en la web. Hay cientos de manuales y foros que hablan sobre Latex. Hace falta un poco de esfuerzo para adaptarse a la escritura, pero una vez controlas los comandos la escritura es muy rápida e intuitiva. Yo he dejado de usar word !!
F(x,y)=\int_{a}^{b} g(x,y) dx
\nabla \cdot \gamma = \frac{\partial \gamma}{\partial x}+ \frac{\partial \gamma}{\partial y}
ATENCIÓN!! HA HABIDO CAMBIO DE SERVIDOR. ESTA DIRECCIÓN YA NO FUNCIONA. MIRAR POST POSTERIORES PARA ENCONTRAR ALTERNATIVA PARA ESCRITURA CON LATEX
Para todos aquellos que utiliceis Latex en vuestros escritos científicos, pero no sabeis como implementar dicha escritura en vuestro blog, os remito a esta web que he encontrado que te explica como hacerlo (al menos en blogger/blogspot).
http://watchmath.com/vlog/?p=438
El proceso es muy sencillo: solo es copiar y pegar el script que deja el autor del blog tal y como se indica en su web, si bien hay que realizarun cambio en la dirección web que esta incluida en el script:
cambiar
http://www.watchmath.com/cgi-bin/mathtex3.js
por
http://www.watchmath.com/main/cgi-bin/mathtex3.js
Y ya está. A disfrutar de vuestra creatividad.
Para los que no sabeis que es Latex, os muestro un ejemplo para que veais de que va el tema. Y si os interesa, solo teneis que buscar información sobre el mismo en la web. Hay cientos de manuales y foros que hablan sobre Latex. Hace falta un poco de esfuerzo para adaptarse a la escritura, pero una vez controlas los comandos la escritura es muy rápida e intuitiva. Yo he dejado de usar word !!
F(x,y)=\int_{a}^{b} g(x,y) dx
\nabla \cdot \gamma = \frac{\partial \gamma}{\partial x}+ \frac{\partial \gamma}{\partial y}
ATENCIÓN!! HA HABIDO CAMBIO DE SERVIDOR. ESTA DIRECCIÓN YA NO FUNCIONA. MIRAR POST POSTERIORES PARA ENCONTRAR ALTERNATIVA PARA ESCRITURA CON LATEX
domingo, 23 de octubre de 2011
Sobre la divergencia y el rotacional (I)
Para aquellos que estudien matemática tensorial, seguramente se hayan topado con algunos de estos dos operadores matemáticos. Sin embargo cuando se habla con un sentido físico se observa que estos operadores poseen cierto significado físico:
- La divergencia esta siempre relacionado con la componente normal de un flujo (esto es, variación de magnitud en el tiempo por unidad de area). Si se hace un análisis de lineas de corriente de flujo se puede observar que si la divergencia es cero, las lineas de corriente que cruzan un volumen de control se conservan: esto es: entran el mismo número de lineas al volumen que las que salen. Algún ejemplo:
· En electromagnetismo, un imán genera un campo magnético que se puede representar con un campo vectorial. Si se toma un volumen de control alrededor de dicho imán se observa que, puesto que el propio imán es la fuente del campo, y que según las leyes del electromagnetismo, la divergencia del campo magnético es cero, se deduce que las lineas de corriente deben ser cerradas (esto es, nacen en un punto del imán pero deben morir en otro punto del mismo), de forma que la ecuación de la divergencia se cumpla.
· En mecánica de fluidos, la divergencia nula sobre un volumen de control implica la conservación de la masa en el volumen implicado. En fluidos cuasi incompresibles como el agua, implica también conservación de caudal.
Nota: La divergencia de un campo vectorial es un ESCALAR.
- El rotacional esta relacionado con la componente tangencial de un flujo. Este operador da como resultado un vector tangente a los implicados en dicho operador.
Ejemplo:
· En mecánica de fluidos, el rotacional del campo de velocidades del flujo esta relacionado con la circulación y la vorticidad del fluido.
Nota: El resultado del rotacional de dos campos vectoriales es otro campo vectorial perpendicular a los anteriores.
- La divergencia esta siempre relacionado con la componente normal de un flujo (esto es, variación de magnitud en el tiempo por unidad de area). Si se hace un análisis de lineas de corriente de flujo se puede observar que si la divergencia es cero, las lineas de corriente que cruzan un volumen de control se conservan: esto es: entran el mismo número de lineas al volumen que las que salen. Algún ejemplo:
· En electromagnetismo, un imán genera un campo magnético que se puede representar con un campo vectorial. Si se toma un volumen de control alrededor de dicho imán se observa que, puesto que el propio imán es la fuente del campo, y que según las leyes del electromagnetismo, la divergencia del campo magnético es cero, se deduce que las lineas de corriente deben ser cerradas (esto es, nacen en un punto del imán pero deben morir en otro punto del mismo), de forma que la ecuación de la divergencia se cumpla.
· En mecánica de fluidos, la divergencia nula sobre un volumen de control implica la conservación de la masa en el volumen implicado. En fluidos cuasi incompresibles como el agua, implica también conservación de caudal.
Nota: La divergencia de un campo vectorial es un ESCALAR.
- El rotacional esta relacionado con la componente tangencial de un flujo. Este operador da como resultado un vector tangente a los implicados en dicho operador.
Ejemplo:
· En mecánica de fluidos, el rotacional del campo de velocidades del flujo esta relacionado con la circulación y la vorticidad del fluido.
Nota: El resultado del rotacional de dos campos vectoriales es otro campo vectorial perpendicular a los anteriores.
Acerca de mi
Hola a todos
En esta entrada voy a presentarme brevemente, exponer mi formación y gustos, y exponer cual va a ser la temática de mi blog.
Mi nombre es David Rodriguez. Soy Ingeniero Químico por la Universidad de Zaragoza. También he cursado un máster de ingeniería de procesos industriales en la Universidad Complutense de Madrid. Actualmente trabajo como investigador en un proyecto relacionado con el sector aeronáutico. Compagino mi actividad investigadora para completar un máster en matemática industrial y un doctorado en matemática aplicada que, si todo va bien, habré obtenido en 2012.
Me considero una persona dinámica y adaptable, interesada por el mundo de la ciencia y la tecnología. Soy constante y perseverante en mis objetivos: no me gusta dejar nada a medio hacer.
Siempre estoy dispuesto a aprender cosas nuevas, pero no me gusta seguir la corriente de la sociedad. Tengo una personalidad y unas preferencias muy marcadas desde siempre, y actuo en consecuencia tanto si se ven bien como si se ven con desprecio en la sociedad. Considero que mis padres me dieron una excelente educación, pues ahora me considero independiente y capaz de tomar mis decisiones sin estar influenciado excesivamente por la sociedad de consumo y la presión social.
Practico artes marciales y me gusta especialmente las actividades de montaña, sobre todo el senderismo. Tengo también cierta debilidad por el mundo de los videojuegos, como integrante de la generación que vió nacer y crecer a esta poderosa industria del ocio.
Me gusta el teatro, el cine, salir con mis amigos, escuchar música y hacer deporte de todo tipo siempre que surge la oportunidad (siento cierta debilidad por la pala, ya que practiqué durante muchos años con mi padre). Siempre que puedo veo las noticias y los programas de divulgación científica o cultural: me parece importante estar al dia y aprender de todo siempre que se pueda: muchas veces las ideas para tu propio trabajo surgen de temas insospechados.
Con este blog pretendo tender un cable al mundo exterior, compartir mis opiniones y mis conocimientos con aquellos que por cualquier razón lean este blog. Pretendo escribir acerca de temas relacionados con las matemáticas, mundo del cual estoy aprendiendo muchas cosas y que se me ha presentado mucho más interesante de lo que se presenta desde el exterior.
Espero que los post que escriba sean de utilidad para aquellos que lo lean.
Un saludo
DAVID
En esta entrada voy a presentarme brevemente, exponer mi formación y gustos, y exponer cual va a ser la temática de mi blog.
Mi nombre es David Rodriguez. Soy Ingeniero Químico por la Universidad de Zaragoza. También he cursado un máster de ingeniería de procesos industriales en la Universidad Complutense de Madrid. Actualmente trabajo como investigador en un proyecto relacionado con el sector aeronáutico. Compagino mi actividad investigadora para completar un máster en matemática industrial y un doctorado en matemática aplicada que, si todo va bien, habré obtenido en 2012.
Me considero una persona dinámica y adaptable, interesada por el mundo de la ciencia y la tecnología. Soy constante y perseverante en mis objetivos: no me gusta dejar nada a medio hacer.
Siempre estoy dispuesto a aprender cosas nuevas, pero no me gusta seguir la corriente de la sociedad. Tengo una personalidad y unas preferencias muy marcadas desde siempre, y actuo en consecuencia tanto si se ven bien como si se ven con desprecio en la sociedad. Considero que mis padres me dieron una excelente educación, pues ahora me considero independiente y capaz de tomar mis decisiones sin estar influenciado excesivamente por la sociedad de consumo y la presión social.
Practico artes marciales y me gusta especialmente las actividades de montaña, sobre todo el senderismo. Tengo también cierta debilidad por el mundo de los videojuegos, como integrante de la generación que vió nacer y crecer a esta poderosa industria del ocio.
Me gusta el teatro, el cine, salir con mis amigos, escuchar música y hacer deporte de todo tipo siempre que surge la oportunidad (siento cierta debilidad por la pala, ya que practiqué durante muchos años con mi padre). Siempre que puedo veo las noticias y los programas de divulgación científica o cultural: me parece importante estar al dia y aprender de todo siempre que se pueda: muchas veces las ideas para tu propio trabajo surgen de temas insospechados.
Con este blog pretendo tender un cable al mundo exterior, compartir mis opiniones y mis conocimientos con aquellos que por cualquier razón lean este blog. Pretendo escribir acerca de temas relacionados con las matemáticas, mundo del cual estoy aprendiendo muchas cosas y que se me ha presentado mucho más interesante de lo que se presenta desde el exterior.
Espero que los post que escriba sean de utilidad para aquellos que lo lean.
Un saludo
DAVID
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