Conservatividad en las ecuaciones.

Un concepto que a mi juicio es importante en física y matemáticas que no se estudia con suficiente detalle en la universidad y que es importante para la comprensión de las ecuaciones matemáticas que rigen el comportamiento del mundo que nos rodean es el concepto de conservación.

Hablando toscamente, se puede afirmar que una ecuación se denomina conservativa cuando esta cumple un principio universal que, si bien a priori todo el mundo piensa que es "de cajón", tarda cierto tiempo en ser asimilado. El principio es el siguiente:

Variación en un dominio de una magnitud = entra - sale

Esto resulta trivial e incluso insultante. Pero detallemos en mayor profundidad las consecuencias de esto cuando trabajamos con ecuaciones diferenciales. Para este caso, y suponiendo que nuestro problema consta de dimensión temporal y espacial, podríamos decir que una ecuación es de tipo conservativo si se puede escribir de esta forma:

$$ u_t + \nabla \cdot F(u) = 0 $$

donde F(u) puede ser una función no lineal de u (no incluiría funciones donde intervengan términos en derivadas!)

A priori esta ecuación no esta muy clara que signifique lo anterior. Si trabajamos con 1 dimensión espacial la expresión se puede escribir como:

$$ u_t +F(u)_x = 0 $$

 Pero si integramos la ecuación:

$$ \int_{x1}^{x2}u_t dx = -[F(u_2) - F(u_1)]$$

Aquí se puede ver claramente lo que se ha comentado anteriormente:  la ecuación realmente nos dice que la variación de la magnitud u con el tiempo en todo el dominio es igual a la cantidad de u que entra menos la que sale. 

Este concepto, que quizá no parezca muy trascendental, es importante en el sentido de que las ecuaciones que miden magnitudes conservativas (energía, momento lineal, masa, etc.), todas obedecen esta estructura básica. Pueden llevar más términos o menos, pero esta estructura siempre esta incluida en las ecuaciones. Esto es coherente puesto que de otro modo se violaría la conservación de dichas magnitudes, caso que hasta el momento no se ha dado en ningún experimento.

La consevación tiene consecuencias más profundas. En concreto esta intimamente ligada a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Los que os habéis informado un poco más en profundidad sobre métodos numéricos para resolver PDEs seguramente os habréis topado con el concepto de "formulación fuerte" y "formulación débil" de una ecuación diferencial. Estos conceptos están relacionados la conservatividad. Se dice que una ecuación satisface su formulación fuerte cuando la solución de la ecuación cumple estrictamente tanto con las condiciones de contorno como con la formulación diferencial en todo punto del dominio. Sin embargo, en muchos campos resolver la formulación fuerte de dichas ecuaciones resulta muy complicado (debido a que pueden aparecer discontinuidades o singularidades en la solución que hacen la ecuación no diferenciable aunque si sea continua), y en bastantes casos es hasta el momento imposible (ejemplo clásico son las ecuaciones de Navier - Stokes). Sin embargo, lo que se plantea es utilizar una formulación débil, la cual cumple con las condiciones de contorno pero no cumple la ecuación diferencial en si, sino su FORMULACIÓN INTEGRAL. La formulación integral garantiza el poder obtener soluciones incluso aunque estas no sean diferenciables, puesto que no hay necesidad de derivar. Puesto que al integrar en un dominio acotado, el resultado de la integral se evalúa entre 2 límites de integración y se restan, se puede derivar que cuando se aplica una formulación débil de una PDE donde tiempo y espacio son las dimensiones relevantes que describa un proceso físico, realmente estamos reafirmando que la magnitud SE CONSERVA.