Tipos de PDEs

Hola a todos

Seguramente a muchos se nos viene a la cabeza preguntarnos que es una ecuación hiperbólica o parabólica. Voy a intentar detallar brevemente lo que son estos conceptos como los entiendo desde mi punto de vista.

Las ecuaciones en derivadas parciales (Partial differential equations en ingles, o PDE) se pueden clasificar atendiendo a varios criterios de clasificación, pero uno de los más utilizados divide las PDEs en 3 grandes grupos: parabólicas, elípticas e hiperbólicas. El criterio concreto para dividir los 3 grupos es la presencia o no en la ecuación de ciertos términos. Considerando que la ecuación se puede escribir de esta forma genérica:

$$A·u_{xx} + 2B·u_{xy} + C·u_{yy}+D·u_x+E·u_y+F = 0$$

Las ecuaciones se englobarán en una categoría u otra según los distintos coeficientes en letras mayúsculas en la ecuación sean cero o no. No obstante, mi criterio a la hora de recordar que tipo de ecuación tengo delante cuando la veo es guiarme por 3 criterios básicos y luego asociarlos.

Un método más intuitivo de aprender a indentificar cada tipo de ecuación a su forma matemática es tomando ejemplos clásicos de física, entendiendo lo que ocurre en la realidad y asociarle una forma matemática estándar que producirá dicho efecto numéricamente. Voy a poner un ejemplo para cada tipo:

· Ecuación parabólica: Un ejemplo clásico asociado a este tipo de ecuaciones es la ecuación del calor. Esta ecuación describe como se propaga el calor en un medio:  si pensamos en un frigorífico cuyas paredes interiores están a una temperatura $T_{cold}$ e  introducimos un vaso de agua caliente a temperatura $T_{hot}$, la intuición nos dice que el calor fluirá del vaso a través del interior del frigorífico hacia las paredes (porque están más frías) de forma gradual y sostenida en el tiempo, de tal modo que al principio el agua perderá calor rápidamente pero conforme esté más templada tardará más tiempo en seguir enfriándose hasta que finalmente el agua alcanza la misma temperatura que la nevera, y el proceso se detiene. Vemos que en este proceso intervienen 2 variables dimensionales importantes: el tiempo y la distancia entre el vaso y las paredes (no es lo mismo que estén muy cerca que estén muy separadas del vaso). Juntando estas, la ecuación se puede escribir como:

$$ \partial_t T =  k \partial_{xx} T$$

con sus condiciones de contorno escritas de forma no ortodoxa (para que sea entendible):

$$T(x = pared )= T_{cold}$$
$$T(x = vaso) = T_{hot} $$

Lo que describe la ecuación es sencillamente como varía la temperatura en el interior de la nevera al pasar el tiempo en cada punto del interior de la nevera. Por lo tanto, si hablamos de ecuaciones parabólicas en procesos físicos donde las dimensiones espaciales y temporales están involucradas, entonces podemos afirmar que describen la evolución no estacionaria (hay un término con derivada temporal) de una magnitud (en este caso la temperatura) en un dominio dado (sería la zona del espacio donde quieres conocer la distribución de temperaturas). Esta ecuación da la temperatura para cada punto del espacio y para cada instante de tiempo.


· Ecuación elíptica: Un ejemplo para este tipo de ecuaciones es la ecuación de difusión. Consideremos una tubería rectangular llena de agua donde supongamos introducimos un tinte con una concentración C_{in} a través de uno de sus extremos. Supongamos también que por el otro lado de la tubería sale una concentración de tinte C_{out}. Si no hay corriente de agua alguna de líquido (el líquido esta en reposo), la pregunta que se nos plantea es como varíará la concentración de tinte a través de la tubería. La intuición nos vuelve a decir que el tinte "difundirá" progresivamente desde un lado de la tubería hasta el otro de tal manera que al observar la variación de la concentración a lo largo de la tubería, esta variará de forma progresiva.
La ecuación que describiría esta variación será:


$$ D \partial_{xx} C= 0 T$$


con sus condiciones de contorno:

$$C(x = entrada )= C_{in}$$
$$C(x = salida) = C_{out} $$

Observad que en este caso, la ecuación NO DICE NADA SOBRE LA EVOLUCIÓN TEMPORAL DE LA CONCENTRACIÓN. Sólo da la DISTRIBUCIÓN ESPACIAL DE CONCENTRACIONES.  Por lo tanto, las ecuaciones elípticas en problemas de física con dimensiones espaciales están asociadas a distribuciones estacionarias de magnitudes. De hecho, si tomamos la ecuación parabólica del calor (que es no estacionaria), y hacemos que el tiempo tienda a infinito, se podrá observar que el término temporal tiende a anularse, y la solución tiende a ser la misma que la de una ecuación elíptica.

· Ecuación hiperbólica: El ejemplo clásico que se suele poner en los libros de texto es el de la ecuación de ondas. Sin embargo, esto a priori no debe decir mucho a alguien no familiarizado con el mundo de las ondas.
Veamos un ejemplo inverso para entenderlo. Primero asumiremos que un ejemplo de una ecuación de ondas puede ser el siguiente:

$H_t + c· H_x = 0$

con condición inicial

$H(x,0) = H_0(x)$


Esta ecuación en el ejemplo que tratamos referirá a como varía en el tiempo la altura de una cuerda. Si nos fijamos en la ecuación, hay 2 magnitudes independientes: tiempo y espacio. Luego la solución debe ser función de estas. Esta ecuación expresa que la variación en el tiempo la altura de la cuerda es igual a como varía en dirección longitudinal.
Sabemos que H(x,0) es la condición inicial del sistema, por lo que satisface la ecuación. Es fácil comprobar que una solución idéntica espacialmente a esta pero trasladada en el tiempo exactamente c veces un intervalo de tiempo t satisface también la ecuación, esto es: H(x-ct, t) también satisfará la ecuación. Esto se podría entender mejor si efectivamente asumimos que la solución posee una forma de onda:  si a tiempo 0 la forma de la onda es mi solución, si yo me desplazo a una velocidad EXACTAMENTE IGUAL a la que viaja la onda, esta no ha variado su forma desde mi punto de vista, por lo que en cualquier instante de tiempo también será solución. Efectivamente si me quedo estático podré observar como la cuerda se elevará y ddescenderá físicamente formando una geometría igual a la de la onda original. La solución es una onda que se propaga físicamente por la cuerda, pero también en el tiempo, ya que a tiempo suficiente da igual en que punto de la cuerda este, veré llegar la onda y la veré marcharse a una velocidad c con exactamente la misma geometría que a instante t = 0.

Espero que os sirva de ayuda.