Modelos de autómata celular: Ejemplo

Hola

En este artículo (y aprovechando el periodo vacacional puesto que ahora tengo tiempo), voy a subir al blog una película donde se puede observar cual es el resultado cuando se lleva a cabo una modelización adecuada de un modelo de autómatas celulares.

En este caso se esta simulando el crecimiento bacteriano de un biofilm en presencia de un flujo que avanza de izqda a dcha.  Las leyes de evolución implementadas son la reproducción, la erosión del biofilm y el "detachment".

Como punto a remarcar, observad que el segundo 00:07 se observa una forma tipo "champiñón", geometría que este tipo de organismos forma en el mundo real bajo cierto rango de concentración de nutrientes y de condiciones hidrodinámicas suaves.

Espero que sea ilustrativo.

Comentar que este vídeo ha sido elaborado por mi amigo y compañero de trabajo Baldvin Einarsson, excelente programador, que nos a ayudado a llevar adelante nuestras investigaciones sobre los biofilms.

Modelos de autómatas celulares

Saludos a todos

Hoy quería introducir brevemente unas pequeñas nociones sobre una parte concreta del modelado matemático en el que he trabajado durante cierto tiempo y que considero una herramienta muy potente si se sabe utilizar con criterio. Estoy refiriéndome a los modelos de autómata celular.

Este tipo de modelos aplican un enfoque para abordar problemas bastante interesante. Si bien prácticamente todos los modelos físicos abordan los problemas utilizando las ecuaciones de conservación físicas ya sea en su forma diferencial o en su forma integrada (las cuales son deterministas), los modelos de autómata celular avanzan en otra dirección: estos modelos utilizan un enfoque plenamente estocástico (utilizando variables aleatorias). Se podría describir el modelado de este "approach" de la siguiente manera:

- Se discretiza en un mallado formado por celdas cuadradas (se podrían realizar otro tipo de celdas) el dominio que se quiere modelizar. Este dominio va a ser modificado por la fenomenología física a describir.

Ejemplos podrían ser la descripción de un fluido o un sólido sometido a fuerzas de diferente tipo que van a modificar la geometría del propio dominio. 

- Cada celda puede adoptar distintos estados, normalmente asociados a os distintos subdominios de nuestro sistema. Por ejemplo, si nuestro sistema modeliza un fluido que se mueve por efecto del viento sobre un lecho de piedras, los estados que las celdas podrían adoptar podrían sera agua, aire y  rocas. 

- Dos dimensiones claves para modelizar van a ser el tamaño de la celda de la malla, la cual va a dar un significado físico a modelo que se va a llevar a cabo (y por ende determinará que procesos actúan a esa escala), y el paso temporal, el cual va a ser implícito e irá introducido a través de los procesos de iteración del modelo.

-Se observará el fenómeno físico determinado que se quiere modelar y se descompondrá la fenomenología en distintos "procesos" o "efectos" que van a actuar sobre el dominio. Al ser el modelo totalmente estocástico, cada proceso puede actuar o no sobre cada celda del dominio.

- Para determinar si un proceso ocurre o no, se propondrá una ley que permita calcular la probabilidad (valor entre 0 y 1) de ocurrencia de un fenómeno dado a partir de ciertos datos que se pueden calcular mediante otros procesos de cálculo ( campos de velocidad, de concentración , etc. determinados ya sea de forma convencional resolviendo PDEs que aplican en el dominio ). En este punto es conveniente recomendar que el cálculo de estos datos adicionales sea realizado utilizando hipótesis simplificatorias, ya que si no se corre el riesgo de generar un coste computacional demasiado elevado (lo cual es un inconveniente que se intenta evitar cuando se recurre a este tipo de modelos).

- Una vez obtenida la probabilidad, se realizarán sorteos aleatorios para cada celda para cada proceso. Esto provocará un efecto dentro del sistema, haciendo que cada celda cambie el valor de su estado en función del efecto producido por los fenómenos simulados. Por ejemplo, si el aire desplaza el agua, una casilla concreta que pudiera adoptar el estado de agua podría cambiar su estado a aire si la fuerza simulada ha desplazado el fluido de esa celda del dominio.

- En cuanto se ha actualizado todas las casillas, se incrementa el contador temporal del modelo y se vuelve a reiniciar el proceso. Este bucle simulará el paso del tiempo en el sistema.

Hay que destacar varios aspectos:

1 - El modelo es totalmente aleatorio: No hay 2 simulaciones idénticas, puesto que todos los eventos son estocásticos

2- La dinámica del sistema surge de forma espontánea a través de los distintos resultados que van modelando el dominio de celdas: "Nadie dice como tiene que evolucionar el sistema, sino que sólo se restringen los grados de libertad que este puede adoptar"

3- Este último punto nos hace deducir que sin una buena modelización de la física que se quiere simular, los resultados obtenidos van a resultar ilógicos y no realistas. Es imprescindible modelar de forma correcta las leyes de probabilidad que rigen los distintos eventos implementados en el modelo.

4- Muchos parámetros que se introduzcan en dichas leyes pueden ser inventados y sin embargo el modelo puede describir de forma realista un determinado fenómeno. El paso lógico será realizar un proceso de CALIBRACIÓN que permita obtener el rango de parámetros adecuado en el cual el modelo da resultados acordes con la realidad experimental.

5- Este tipo de modelos permite obtener resultados asombrosamente similares a los obtenidos en experimentación con un coste computacional muy por debajo de los métodos tradicionales de resolución de PDEs.

Con este artículo no quiero decir que este tipo de modelos es mucho mejor que el resto. Sólo quiero darlos a conocer a todos aquellos que no conocen el campo y mostrar tanto sus puntos fuertes como sus debilidades.

Conservatividad en las ecuaciones.

Un concepto que a mi juicio es importante en física y matemáticas que no se estudia con suficiente detalle en la universidad y que es importante para la comprensión de las ecuaciones matemáticas que rigen el comportamiento del mundo que nos rodean es el concepto de conservación.

Hablando toscamente, se puede afirmar que una ecuación se denomina conservativa cuando esta cumple un principio universal que, si bien a priori todo el mundo piensa que es "de cajón", tarda cierto tiempo en ser asimilado. El principio es el siguiente:

Variación en un dominio de una magnitud = entra - sale

Esto resulta trivial e incluso insultante. Pero detallemos en mayor profundidad las consecuencias de esto cuando trabajamos con ecuaciones diferenciales. Para este caso, y suponiendo que nuestro problema consta de dimensión temporal y espacial, podríamos decir que una ecuación es de tipo conservativo si se puede escribir de esta forma:

$$u_t + \nabla \cdot F(u) = 0$$

donde F(u) puede ser una función no lineal de u (no incluiría funciones donde intervengan términos en derivadas!)

A priori esta ecuación no esta muy clara que signifique lo anterior. Si trabajamos con 1 dimensión espacial la expresión se puede escribir como:

$$u_t +F(u)_x = 0$$

 Pero si integramos la ecuación:

$$\int_{x1}^{x2}u_t dx = -[F(u_2) - F(u_1)]$$

Aquí se puede ver claramente lo que se ha comentado anteriormente:  la ecuación realmente nos dice que la variación de la magnitud u con el tiempo en todo el dominio es igual a la cantidad de u que entra menos la que sale. 

Este concepto, que quizá no parezca muy trascendental, es importante en el sentido de que las ecuaciones que miden magnitudes conservativas (energía, momento lineal, masa, etc.), todas obedecen esta estructura básica. Pueden llevar más términos o menos, pero esta estructura siempre esta incluida en las ecuaciones. Esto es coherente puesto que de otro modo se violaría la conservación de dichas magnitudes, caso que hasta el momento no se ha dado en ningún experimento.

La consevación tiene consecuencias más profundas. En concreto esta intimamente ligada a la resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Los que os habéis informado un poco más en profundidad sobre métodos numéricos para resolver PDEs seguramente os habréis topado con el concepto de "formulación fuerte" y "formulación débil" de una ecuación diferencial. Estos conceptos están relacionados la conservatividad. Se dice que una ecuación satisface su formulación fuerte cuando la solución de la ecuación cumple estrictamente tanto con las condiciones de contorno como con la formulación diferencial en todo punto del dominio. Sin embargo, en muchos campos resolver la formulación fuerte de dichas ecuaciones resulta muy complicado (debido a que pueden aparecer discontinuidades o singularidades en la solución que hacen la ecuación no diferenciable aunque si sea continua), y en bastantes casos es hasta el momento imposible (ejemplo clásico son las ecuaciones de Navier - Stokes). Sin embargo, lo que se plantea es utilizar una formulación débil, la cual cumple con las condiciones de contorno pero no cumple la ecuación diferencial en si, sino su FORMULACIÓN INTEGRAL. La formulación integral garantiza el poder obtener soluciones incluso aunque estas no sean diferenciables, puesto que no hay necesidad de derivar. Puesto que al integrar en un dominio acotado, el resultado de la integral se evalúa entre 2 límites de integración y se restan, se puede derivar que cuando se aplica una formulación débil de una PDE donde tiempo y espacio son las dimensiones relevantes que describa un proceso físico, realmente estamos reafirmando que la magnitud SE CONSERVA.