Sobre la divergencia y el rotacional (II)

Hola a todos

Voy a realizar alguna aclaración más acerca de estos dos operadores, de gran importancia en el mundo de la ciencia y la ingeniería como la divergencia y el rotacional. La idea me ha surgido al realizar unos ejercicios de comprensión sobre el significado de estos, y pienso que será util para aquellos que tenga que tratar con ellos o bien durante su formación o bien en su trabajo.

Se comentó en el anterior post que la divergencia tiene que ver con un balance de flujo a través de una superficie. Quizá lo más riguroso sería acudir a su definición matemática estricta:

$$\nabla \cdot F = \frac{1}{\bigtriangleup V}\int_S \vec{F} \cdot \vec{n} \cdot dS $$

Como se puede observar, la divergencia se define como el flujo de campo neto que atraviesa una superficie asociada a un volumen determinado. Vamos a poner un ejemplo de cual sería la divergencia para un campo concreto. En concreto, utilizaremos un campo en coordenadas esféricas:

 $\vec{F}=r^2 \vec{r}$

Aplicando la definición de divergencia para un sistema de referencia de coordenadas esféricas, se puede obtener el valor exacto:

$\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \vec{F} \right) = 4r $

El resultado nos dice que la divergencia es siempre positiva en todo el campo, salvo en el centro que debe ser nula. Efectivamente, cuanto más nos acercamos las lineas de campo son cada vez menores.

Se puede analizar las zonas del campo en las cuales la divergencia es positiva, negativa o nula. Recordad que la divergencia tiene que ver con un balance en un volumen determinado.  Como se puede observar, la divergencia es siempre positiva en todo el campo. Conforme nos alejamos del origen de coordenadas, el flujo a través de las distintas superficies que englobarían volúmenes de tipo esférico (escogemos estos por ser un sistema de coordenadas esféricas) dentro del campo (en el plano 2D serían circunferencias concéntricas) cada vez es mayor.

Al representar gráficamente un detalle de este campo y pintar las lineas de campo a una distancia r y otra r +dr, se observa que efectivamente las lineas de campo son mayores al alejarnos del centro y por lo tanto mayores en la superficie S+dS que en la superficie S. La divergencia aplicada a este diferencial de volumen que abarca ambas superficies debe ser mayor que cero.

Pero este balance visual puede llevar a error algunas veces, por lo que hay que ser precavido a la hora de evaluar. Lo ilustraremos ahora realizando el mismo análisis con otro campo distinto:

$\vec{F}=\frac{1}{r^2} \vec{r}$

La representación del campo es:

Como se aprecia, las lineas de campo son decrecientes conforme nos alejamos del centro. Si hacemos un análisis visual basándonos en el ejemplo anterior, a priori podría pensarse que la divergencia de este campo es siempre menor que cero para cualquier r, haciéndose 0 en el infinito. Si ampliamos en imagen un detalle en una zona del campo:

Parece que las lines de campo son menores en S+dS que en S en todo el plano, por lo que el balance sería menor que cero. Sin embargo, esto no es así. Calculando la divergencia analíticamente:

$\nabla \cdot \vec{F}=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \vec{F} \right) = 0 $

El resultado del cálculo analítico arroja un resultado 0 para cualquier punto del campo. ¿Que es lo que ha fallado en nuestra deducción?

La respuesta a esta pregunta no es trivial. Si observamos de nuevo la definición de divergencia, se puede apreciar que es la integral del flujo superficial a través de una superficie. Al escoger un volumen como el del detalle anterior, se observa que el valor del campo es mayor en un punto de la superficie S que en una posición de la superficie S+dS (porque al tener mayor radio, el valor del campo es menor). En concreto la variación del campo es inversamente proporcional a $s^2$. Pero hay que destacar que LA SUPERFICIE A TRAVÉS DE LA QUE CIRCULA EL FLUJO DEL CAMPO TAMBIÉN ES MAYOR EN S+dS QUE EN S. Concretamente, es mayor proporcionalmente con el cuadrado de la distancia.

Se tiene en conjunto que, LA DISMINUCIÓN DEL VALOR DEL CAMPO AL AUMENTAR EL RADIO SE VE COMPENSADA CON EL AUMENTO DE SUPERFICIE AL AUMENTAR DICHO RADIO. Digamos que, aunque F es más intenso en la superficie S que en S+dS, la superficie que atravesa es menor que la de S+dS, compensando así los valores en ambos puntos. En este caso, esta compensación es exactamente igual, y por tanto el flujo a través de ambas superficies es exactamente el mismo. El balance neto entonces es exactamente cero.

Por lo tanto, para resumir:

- La divergencia de un campo vectorial es un escalar.
- La divergencia implica un BALANCE NETO de flujo en un volumen determinado a través de su superficie.
- Al calcular la divergencia en un volumen dado (por ejemplo un rectángulo, o un sector circular) hay que tener en cuenta tanto el valor de campo en cada superficie como el tamaño de las superficies que atraviesa. Recordar que es un flujo superficial.

El próximo post introduciré un ejemplo similar para el operador rotacional