Hola a todos
Voy a dedicar este post a repasar brevemente varios conceptos relativos a lo que se denominan "ecuaciones hiperbólicas". Si recordáis, las ecuaciones hiperbólicas son aquellas que poseen una forma general como esta:
$$ U_t + \nabla \cdot F(U) = 0 $$
Para facilitar el ejemplo utilizaré el caso 1D con una función de flujo (a) constante:
$$ U_t + aU_x = 0 $$
con su correspondiente condición inicial:
$$ U(x,0) = U_0 $$
Las ecuaciones hiperbólicas generan como solución un "frente de onda", esto es, una solución que se propaga en el tiempo y en el espacio. De hecho, para este caso en concreto, la solución coincide con un valor desplazado en el tiempo y el espacio:
$$ U(x,t) = U(x-at,0) $$
Aclararé algunos conceptos que son ligeramente confusos:
- Una ecuación hiperbólica puede generar numerosas familias de soluciones dependiendo de la condición inicial dada. Algunas tendrán significado físico y otras no.
- Existen dos tipos principales de soluciones: frentes de onda y ondas de rarefacción.
- Las familias de soluciones que poseen significado físico son por definición soluciones débiles: estas cumplen la forma de conservación requerida para que una solución sea conservativa:
$$ \int_{x_0}^{x_1} U_t dx = - a \int_{x_0}^{x_1} U_x dx = -a(F(U(x1) - F(U(x0)) $$
- Un frente de onda será solución débil si cumple la condición de Rankine - Hugonniot:
$$ s=\frac{F(U_l) -F(U_r)}{U_l - U_r} $$
donde $U_l$ y $U_r$ son los valores de U a izquierda y derecha del frente de onda.
- Las ondas de rarefacción son por definición continuas y débiles.
- Cualquier método numérico para resolver un problema hiperbólico debe ser estable, esto es, debe asegurar que dicha solución no va a diverger a infinito (puesto que entonces la solución carece de significado físico).
- Para asegurar la estabilidad de una solución con un método numérico hay que comprobar su condición de entropía.
- La condición de entropía de una solución se puede comprobar utilizando la condición de Lax extendida a posteriori por Oleinik.
$$\frac{F(U) -F(U_l)}{U- U_l} \geq s \geq \frac{F(U) -F(U_r)}{U - U_r} $$
- Cualquier método que sea monótono es por definición entrópico. Una solución monótona es aquella que cumple que si dado un par de valores de la función en dos puntos $x=x_1$ y $x=x_2$ a tiempo t=0 ($u_{1}^0$ y $u_{2}^0$), con $u_{1}^0 > u_{2}^0$. Entonces se dice que la función es monótona si: $u_{1}^t > u_{2}^t$ para cualesquiera puntos 1 y 2.
- El teorema de Godunov afirma que cualquier método monótono es a lo sumo de orden de exactitud 1. El método de Godunov es de orden 1.
- Existen otros métodos numéricos de mayor exactitud pero que NO son monótonos. En su lugar, preservan la Variación Total. Son los llamados métodos TVD (Total Variation Diminising). La variación total se puede definir como
$$ TV = \int abs(Ux)dx $$
Como se puede observar, la variación total equivaldría a la cantidad de magnitud que entra en un espacio determinado. Si la TV crece o disminuye quiere decir que la magnitud se acumula o se reduce, lo cual carece de sentido si estamos intentando simular una ecuación que presume ser "conservativa", la cual no debería variar a lo largo de la integración en el tiempo.
- Un método TVD es aquel que cumple que para cualesquiera instantes de tiempo de integración, en cualquier iteración temporal del método se cumple que:
$$ TV(u^{n+1}) \leq TV(u^{n}) $$
Esta condición nos asegura que el método asegura la conservatividad de la solución simulada.
- Existen numerosos métodos de orden superior que utilizan lo que se denomina "limitador de flujo" para conseguir preservar la variación total.
- Cuando se escoge un método hay que elegir que método de reconstrucción de los puntos espaciales se van a utilizar para discretizar los distintos términos espaciales. Esto es, dado un método:
$$U_t = \frac{1}{\Delta x}\left(F(U_{i+1/2}) - F(U_{i-1/2}) \right)$$
Según como se discreticen los términos de F, estaremos escogiendo un método u otro. Dicha discretización puede ser constante a trozos (Problema de Riemman), lineal (Método de Godunov) o de orden superior (High resolution squeme).
Hasta aquí el post de hoy. Se profundizará más en este tema en futuros artículos.
