Métodos Level-Set

Estimados lectores

En esta ocasión voy a escribir sobre un tema sobre el cual estoy actualmente desarollando un trabajo y que me ha parecido ciertamente util: los métodos level-set.

Este tipo de métodos se engloban dentro de los métodos matemáticos de optimización, especialmente en aquellos destinados a la resolución de problemas inversos: ejemplos clásicos de problemas inversos pueden ser la reconstrucción de imágenes o la determinación de variables de campo implícitas mediante el uso de un número de datos obtenidos mediante la resolución del problema explícito (por ejemplo conocer el coeficiente de absorción de un dominio a partir de varios estímulos en la frontera con ciertas fuentes de luz de valor conocido).

Los métodos tipo level - set fueron planteados hace tiempo por Sethian y Onsager. Plantearon que resolviendo la siguiente ecuación, se podía conocer la evolución de la frontera de una función dada $\phi$ conocido el campo de velocidades $\vec{v}$ de cada uno de los puntos de la frontera:

$ \frac{\partial \phi}{\partial t} + \vec{v} \vec{\nabla} \phi = 0 $

con

$  \vec{\nabla} \phi = \vec{n} \mid \nabla \phi \mid $

El método en si es más sencillo de lo que parece. El punto clave consiste en que dada una función F en una dimensión arbitraria, por ejemplo dimensión 2, el problema se puede generalizar utilizando una función de una dimensión adicional $\phi$ (en el ejemplo dimensión 3) y buscar el valor de mi función cuando esta dimensión adicional adquiere un valor 0 "busco el nivel cero de la función $\phi$.

$$ F(x,y,t) \longrightarrow \phi(x,y,z,t) \longrightarrow z = \phi(x,y,t)$$

$$\Gamma (x,y,t) \equiv \phi(x,y,0,t) $$

En este caso, resulta que los valores de la función que hagan cero mi función son los valores de la frontera que estoy buscando.

Una vez conocida mi función $\phi$ de dimensión adicional, y conociendo el campo de velocidades $\vec{v}$,  mediante la integración de la ecuación hiperbólica anteriormente descrita puedo hallar la evolución de mi frontera.

¿Como se traduce esto a efectos prácticos de resolver un problema concreto?
Es relativamente sencillo. Dada la función $F$ de tu problema dentro del dominio estudiado, se propone una función $\phi$ tal que $\Gamma = \phi = 0$
CUALQUIER FUNCIÓN PUEDE VALER. A priori vale cualquier forma siempre y cuando cumpla que en el instante inicial $\Gamma = \phi = 0$.  Un ejemplo para el caso 3D puede ser un paraboloide de revolución clásico.

$$ z=(\frac{x}{a})^2 + (\frac{y}{b})^2 $$

Una vez se propone esta función, se comienza a integrar la PDE hiperbólica propuesta arriba utilizando el campo de velocidades del dominio. En cada paso "temporal", la función $\phi$ se irá deformando, pero sólo su proyección en el plano dimensional del problema adicional es nuestra solución ($\Gamma$). Así que representando al final de cada paso iterativo $\phi = 0$, obtendremos la deformación de la frontera.

Este tipo de métodos pueden ser combinado conjuntamente con otros métodos de optimización, como el método del gradiente. Utilizando la función de optimización respectiva y ajustando el tamaño del incremento mediante un parámetro escalar variable en magnitud en cada paso, se pueden resolver problemas inversos como se ha comentado anteriormente (como una reconstrucción de imágenes).


Un saludo

Disculpas a todos los lectores por la tardanza

Estimados lectores

Lamento profundamente no haber podido atender mi blog como es debido. Las obligaciones personales y con mi tesis doctoral no me han permitido actualizar los contenidos ni atender las preguntas a tiempo.

Espero en los próximos días ir actualizando con nuevo contenido mi blog.

Sin más, un saludo a todos


DAVID RODRIGUEZ